Вверх

Система оценивания

      № задания

Проверяемые умения, навыки

Уровень

Оценивание заданий

(в баллах)

Часть 1.

1.

Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

базовый

1

2.

Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

базовый

1

3.

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

базовый

1

4.

Уметь строить и исследовать простейшие математические модели

базовый

1

5.

Уметь решать уравнения и неравенства

базовый

1

6.

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами на плоскости

базовый

1

Часть 2.

7.

Уметь строить и исследовать простейшие математические модели

повышенный

1

8.

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами в пространстве

повышенный

1

9.

Уметь решать уравнения и неравенства

повышенный

2

10.

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

повышенный

2

11.

Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

высокий

3

Всего заданий – 11.

 

Из них:

 

По типу заданий: с кратким ответом – 8; с развернутым ответом – 3;

По уровню сложности: Б – 6;  П - 4; В  – 1.

 

Максимальный первичный балл за работу – 15.

 

Общее время выполнения работы – 135 минут.

 

 

Каждое из заданий 1–8 считается выполненными верно,  если обучающийся дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.  Каждое верно выполненное задание оценивается 1баллом

 

Ответы к заданиям 1–8

№ задания

Вариант 1

Вариант 2

1.      

279

529

2.      

16

2

3.      

4,5

4,5

4.      

0,35

0,3

5.      

7

5

6.      

84

26

7.      

27,5%

16%

8.      

3

7

 

Решения и критерии оценивания заданий

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий  9-11, зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развернутым ответом:  решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов.  Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Задание 9.

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен верный ответ, отличающийся от верного двумя граничными точками или во втором варианте одной граничной точкой и точкой  х=0

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом  имеется верная последовательность всех шагов решения

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Вариант 1. Решить неравенство:

Решение. ;

≤ 0;

хÎ(-1; 1]È(2;8]

Ответ: (-1; 1]È(2;8].

 

Вариант 2.Решить неравенство:

≤5.

 

Решение.

 

хÎ(-¥; -4]È{0}È[2;5)

 

Ответ: (-¥; -4]È{0}È[2;5)

 

Задание 10.

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

2

Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

ИЛИ

решение недостаточно обоснованно

 

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

 

Вариант1.   Определите площадь равнобедренной трапеции,  у которой основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Вы­пол­ним до­пол­ни­тель­ное по­стро­е­ние: через точку С про­ве­дём пря­мую, па­рал­лель­ную диа­го­на­ли ВД. Эта пря­мая пе­ре­се­чёт про­дол­же­ние ос­но­ва­ния АД в точке L.

Че­ты­рёх­уголь­ник BCLD – па­рал­ле­ло­грамм (по опре­де­ле­нию: у него обе пары сто­рон по­пар­но па­рал­лель­ны, одна пара – по по­стро­е­нию, вто­рая – как ос­но­ва­ния тра­пе­ции). Зна­чит: BD=CL. Но в рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции диа­го­на­ли равны: AC=BD=CLÞΔ ACL- рав­но­бед­рен­ный.

Кроме того, по усло­вию диа­го­на­ли тра­пе­ции пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Это зна­чит, что угол АОД –прямой. Но, по свой­ству со­от­вет­ствен­ных    углов: АОД = ACL =90° , значит,   Δ ACL - пря­мо­уголь­ный.

CK – вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка Δ ACL  , а зна­чит, и его ме­ди­а­на (свой­ство рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка). Но в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ме­ди­а­на, про­ве­дён­ная к ги­по­те­ну­зе, равна по­ло­вине ги­по­те­ну­зы. Зна­чит:  CK=

Но так как BCLD – па­рал­ле­ло­грамм: BC=DL=a.   Получаем 

 CK==  . Таким образом,  в данной трапеции средняя линия равна высоте, а площадь трапеции равна квадрату средней линии.

S трап. ABCD = = 16

Ответ: 256.

Вариант 2.   Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна 16 см,  а диагонали взаимно перпендикулярны.

 

Решение: Вы­пол­ним до­пол­ни­тель­ное по­стро­е­ние: через точку С про­ве­дём пря­мую, па­рал­лель­ную диа­го­на­ли ВД. Эта пря­мая пе­ре­се­чёт про­дол­же­ние ос­но­ва­ния АД в точке L.

Че­ты­рёх­уголь­ник BCLD – па­рал­ле­ло­грамм (по опре­де­ле­нию: у него обе пары сто­рон по­пар­но па­рал­лель­ны, одна пара – по по­стро­е­нию, вто­рая – как ос­но­ва­ния тра­пе­ции). Зна­чит: BD=CL. Но в рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции диа­го­на­ли равны: AC=BD=CLÞΔ ACL- рав­но­бед­рен­ный.

Кроме того, по усло­вию диа­го­на­ли тра­пе­ции пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Это зна­чит, что угол АОД –прямой. Но, по свой­ству со­от­вет­ствен­ных    углов: АОД = ACL =90° , значит,   Δ ACL - пря­мо­уголь­ный.

CK – вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка Δ ACL, а зна­чит, и его ме­ди­а­на (свой­ство рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка). Но в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ме­ди­а­на, про­ве­дён­ная к ги­по­те­ну­зе, равна по­ло­вине ги­по­те­ну­зы. Зна­чит:  CK=

Но так как BCLD – па­рал­ле­ло­грамм: BC=DL=a.   Получаем 

 CK== .  Таким образом,  в данной трапеции высота равна средней линии, а площадь этой трапеции равна квадрату высоты:

Sтрап = CK2, где СК – высота трапеции ABCD.

Sтрап. ABCD =

Ответ: 256.

Задание 11.

 

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

3

Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен результат

- неверный ответ из-за вычислительной ошибки.

- верный ответ, но решение недостаточно обосновано

2

Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, но при этом решение может быть не завершено

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

 

 Вариант 1. Клиент взял 15 960 000 рублей в кредит под 30% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся часть долга (т.е. увеличивает долг на 30%), затем клиент переводит в банк платеж. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

 

Решение.

Пусть искомый ежегодный платеж составляет х рублей. Тогда в конце первого года клиент будет должен

1,3•15 960 000 – х = 20 748 000 – х (рублей).

Аналогично в конце второго года его долг составит

(1,3•(20 748 000 – х) - х) = 26 972 400 – 2,3х.

А к концу третьего года

1,3•(26 972 400 – 2,3х) – х = 35 064 120 – 3,99х рублей.

Однако по условию клиент должен выплатить кредит тремя равными платежами, то есть в конце третьего года его долг должен составить 0 рублей. Составим и решим уравнение 35 064 120 – 3,99х = 0; х=8 788 000.

Ответ: 8 788 000 рублей.

Вариант 2.  20 декабря 2016 года Сергей Михайлович взял в банке 800 000     рублей в кредит. План выплаты  кредита такой: 20 числа каждого месяца банк начисляет 2% на оставшуюся  сумму долга (т.е. увеличивает долг на 2%), затем Сергей Михайлович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Сергей Михайлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 360 000рублей?

Решение.

Очевидно, что чем больше Сергей Михайлович будет выплачивать в месяц, тем быстрее он погасит кредит. Поэтому предположим, что первые месяцы Сергей Михайлович будет выплачивать ровно по 360 000 рублей, а в последний месяц эта сумма может оказаться меньше.

Через месяц после того, как кредит был взят, в результате начисления процентов Сергей Михайлович окажется должен 1,02•800 000 = 816 000 рублей,

а после ежемесячной выплаты эта сумма составит 816 000 – 360 000 = 456 000 рублей.

Еще через месяц размер долга возрастет до 1,02•456 000= 465 120 рублей и после очередной выплаты уменьшится до 105 120 рублей.

Наконец, еще через месяц этот долг возрастет до 1,02•105 120 = 107 222,4 рублей, и Сергей Михайлович погасит кредит.

Таким образом, минимальное количество месяцев, на которое Сергей Михайлович может взять кредит, равно 3.

 

Ответ: на 3 месяца.